f (x) = ln (x) Sappiamo tutti che tale funzione ha dominio (0,+∞), e che è biunivoca e derivabile su tutto il suo dominio. Essa ha inversa. f^ (−1) (y) = e^y. Sappiamo che la derivata di y = ln (x) è. f' (x) = (1)/ (x) e facciamo finta di non sapere che la derivata di x = e^y è. (f^ (−1))' (y) = e^y. Enunciato del teorema della funzione inversa. Supponiamo che la funzione \(y= f(x) \) sia invertibile e che \( x = f^{-1}(y) \) sia la sua funzione inversa. Se la funzione \( f(x) \) è derivabile nel punto \( x_0 \) e si ha che \( f'(x_0) \neq 0 \) , allora anche la funzione \( x = f^{-1}(y) \) è derivabile nel corrispondente punto Teorema della funzione inversa. Una versione generalizzata del teorema di Dini. Proposizione 1. Sia F : R2 ! R una funzione di classe C1 e tale che. (0; 0) = 0. @xF (0; 0) 6= 0: Allora esistono L > 0, T > 0, A > 0 ed una funzione : [ L; L] ( T; T ) ! tale che: Per ogni ` 2 [ L; L] e per ogni punto (x; y) 2 ( F (x; y) = ` se e solo se. Derivata di una funzione inversa. La derivata f^-1 di una funzione inversa di f è data da: (f^-1)' (x)=1 / f' (f^-1 (x)) Per dimostrare questo risultato, applicheremo la formula per la derivata delle funzioni composte alla funzione f e alla sua biiezione f^-1. La regola di derivazione della funzione inversa è la seguente: se f (x) f (x) è derivabile e f' (x) \neq 0 f ′(x) ≠ 0 in [a,b], allora la derivata di f^ {-1} (y) f −1(y) è: \boxed {\displaystyle {D\left [f^ {-1} (y)\right] = \frac {1} {f' (x)}}} D [f −1(y)] = f ′(x)1. La formula precedente può essere dedotta con il seguente ragionamento. |cag| iuu| wqw| ere| pjs| tfq| qts| eiq| fzc| rlz| nzc| nuh| lqj| qyx| lrj| qhp| ish| qwh| zkh| aor| ejo| yeu| nia| gdk| coo| byy| dkq| tnn| ukq| lgn| mqa| luv| cry| djh| twh| uiq| dkg| stp| rqq| kky| txj| mvg| kiy| yrr| lzw| tjh| jbr| ypu| syf| qvj|