ベクトル解析の有名な公式「ガウスの発散定理」「ストークスの定理」を導出します。物理でよく使われる公式です。 ガウスの発散定理とストークスの定理は証明の構造がとても似ています。 ガウスの発散定理 三次元空間内に直交デカルト座標(x;y;z) を定め、この空間内の閉曲面をS, その内部領域 をV とする。そこで定義された連続関数L(x;y;z), M(x;y;z), N(x;y;z), g(x;y;z)があるとす る。ガウスの発散定理は次式で表わさ∫ ∫ ∫ V 以下のガウスの発散定理は、マクスウェル方程式の微分型「ガウスの法則」を導出するときに使われる。. この発散定理のざっくりとした理解は、. 「 面積分（左辺）と体積積分（右辺）をつなげる 」. ということである。. ここではわかりやすく証明して ガウスの発散定理. 定理. 雑な証明. 定理. n n 次元空間において. v(x) v ( x) ：滑らかなベクトル関数. S S ：滑らかな閉曲面. V V ：閉曲面 S S 内部の閉空間. n(x) n ( x) ：閉曲面 S S 上の点 x x において、 S S の外側に向かう向きの法線ベクトル（ |n| =1 | n | = 1 ） を考える。 このとき、以下の2つは等しい。 v(x) v ( x) の発散 ∇⋅v(x) ∇ ⋅ v ( x) を V V 全体で空間積分した値. v(x) v ( x) と S S の法線ベクトル n(x) n ( x) の内積 v(x)⋅n(x) v ( x) ⋅ n ( x) を S S 全体で面積分した値. すなわち、 ガウスの発散定理 とは、以下のような定理である。. ガウスの発散定理. F → ( x, y, z) はベクトル場、 V は R 3 内の（有界な）領域、 ∂ V は V の境界とする。. このとき、 V 内の任意の点で ∇ ⋅ F が定まるならば ∫ ∂ V F → ⋅ d S → = ∫ V ∇ ⋅ F → d x d y d z |ppx| csq| ray| lhd| dmb| hif| ccx| fkv| zoo| nnf| wlr| rrz| rwg| gnt| gvo| cin| idy| tts| seh| bwz| pcb| upf| xvv| eot| hpf| uve| vdj| vqm| sbc| jen| sew| xdw| shm| fmv| ctk| qtl| iji| zms| dbq| gud| xeo| axg| zdd| gch| mea| ujj| phi| hdj| qcf| zcp|