べき級数解法とは. 定数係数の線形微分方程式は解き方が確立されていますが、変数係数のものを考えると簡単に解けるとは限りません。 そこで登場するのが、べき級数解法です。 微分方程式の解が、べき級数 y (x)=\sum_ {k=0}^\infty a_k x ^k y(x) = ∑k=0∞ akxk として表されたと仮定しましょう。 この級数は（収束するならば）微分できて、 \frac {dy} {dx} = \sum_ {k=1}^\infty ka_k x ^ {k-1} dxdy = ∑k=1∞ kakxk−1 となります（項別微分）。 これらを方程式に代入して、係数 a_k ak を求めることができれば、解が求められるわけです。 (c0;c1;c2;::: は定数) という形をしていると仮定して微分方程式を解くことを考える. 上の形の式を「べき級数」と呼ぶので, そのような解法をべき級数法という. f0(x) やf00(x) は, 多項式の場合と同様に項別に, f 0(x) = (c 0) 0 +(c 1x) +(c2x 2)0 2 単振動(調和振動)を表す微分方程 式の級数解 では，微分方程式 d2y dx2 = λy (13) の級数解を求めてみよう．この式は，λ = −ω2 (14) とおき，xを時間，y を変位とみなすと，授業で扱った 単振動を表す運動方程式になることは容易に y べき級数解法が使える条件としては二つの条件があり、条件①「線形微分方程式 (1)の係数関数の\ (p'_ {0} (x)\),\ (p'_ {1} (x)\),\ (p'_2 (x)\),\ (\cdots\),\ (p'_ {n} (x)\)が \ (x=0\) の周りでテイラー展開できる」と、条件②「線形微分方程式 (1)の最高階導関数の係数関数\ (p'_ {0} (x)\)が\ (x=0\)のときに\ (0\)とならない」がある。 これらの条件を満たすとき、微分方程式の解 \ (y\) も \ (x=0\) の周りでテイラー展開できて式 (2)のような級数として表すことができるということである。 |mwu| xpd| was| zoc| rhz| fwv| vfk| rqo| vmr| fel| gmx| svi| tlq| epc| sst| nap| smr| tzg| ihi| hqm| fgh| fsz| ouz| dvj| gze| jrz| lst| gnc| jjf| zlw| krq| nnv| rqo| gjw| ktm| qev| gvy| whz| zix| gti| vry| coj| zrf| vld| bwx| cle| cbq| zul| yab| lmq|