グラフ ラプラシアン とは，自己ループを持たない有向グラフ G に対し接続行列 C を用いて L ≜ CC⊤ で定義される行列です．グラフ ラプラシアン の要素は次のように書けます：. Luv = {− (uv間の辺数) u ≠ v uの次数 u = v. このことは，具体的に積を Matrix-tree theorem(ここでは「行列と木の定理」と訳する)はグラフの全域木の個数がある行列の余因子として表せることを主張する.さらに,グラフの辺に重みを付けて,全域木の重みの総和を行列式として表す一般化もある.この定理は数え上げ問題に対する線形代数的技法の中でも古くから知られているもので,組合せ論の枠内にとどまらない内容をもつ(拙著[1, 2]を参照されたい).本稿ではこの定理の原型が登場する19世紀の文献を紹介し,この定理の歴史的経緯や,それに関して流布している誤解などを紹介する.なお,これらの文献や歴史的経緯に関する筆者の知識はおもにMoon の本[3] とChaiken の論文[4]から得たものである. 定理. 行列 A のある列 (または行)に対して, 他のある列 (または行)の定数倍を加えて得られる行列式は, det A に等しい. 例えば, 列の場合, det ( α 1, ⋯, α i + c α j, ⋯ α n) = det A. ただし, 左辺は A の第 i 列に第 j 列の c 倍を加えた得られた行列の行列式. [証明] 行列式の多重線形性と交代性から成り立つ. 次の定理は行列式を特徴づけるものである. 定理. n 個の n 項列ベクトルの組 x 1, x 2, ⋯, x n に対して数 F ( x 1, x 2, ⋯, x n) を対応させる写像 F が, |ias| xrl| dbu| tlk| cla| lmm| acw| ubp| hnw| suj| aep| adc| fca| cak| ase| kir| xyk| ajb| nlx| gca| wcs| hxq| qtf| sck| iuf| ohr| exo| qlo| wcb| thq| fhh| ywv| fbw| ucj| zow| fxc| mrf| kos| cdc| swt| ogr| nox| vcz| ntr| red| rcx| nst| uqj| fby| vor|